Решения задач по алгебре, аналитической геометрии и векторной алгебре

Выдержки из решения:
 
Задание 1. Найти (методом присоединенной матрицы) матрицу, обратную к матрице А. Сделать проверку.
 
Задание 2. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместимость и решить тремя способами:
1. методом Гаусса;
2. методом Крамера;
3. средствами матричного исчисления.
Сделать проверку.

 
Задание 3.
1. Найти длину вектора , если , .

Задание 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребер A1A2; A1A3; A1A4;
2) угол между ребрами: A1A2 и A1A4;
3) площадь грани A1A2А3;
4) объем пирамиды;
5) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань A1A2А3.

А1 (1; -1; 2), А2 (2; 1; 2), А3 (1; 1; 4), А4 (6; -3; 8).

Задание 5.
Дана прямая 2х + 3у + 4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2;1) под углом в к данной прямой.

 
Задание 6.
Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А (5;0) относятся как 2:1.

Задание 7.
Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что большая полуось а = 12, а эксцентриситет ε = 0,5. Построить линию.

Задание 8.
Линия задана уравнением r = r(φ) в полярной системе координат, где r ≥ 0. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ = 0 до φ = 2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия. Построить линию

r = 2cos2φ

Образец выполнения контрольной работы 
Задание 1. Найти матрицу, обратную к матрице
 
Решение:
1) Вычислим определитель матрицы А
 
2) Обратная матрица А-1 вычисляется по формуле , где АijТ – транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений

а) Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы
 
б) Составим матрицу алгебраических дополнений
 
в) Транспонируем матрицу Аij и получим АijТ
 
г) Вычисляем обратную матрицу
 
д) Для проверки умножим А-1 на А, получим  
 
Ответ: .
Задание 2. Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:
1. методом Гаусса;
2. методом Крамера;
3. средствами матричного исчисления.
Решение:
1. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и осуществляется в два этапа:
а) прямой ход заключается в приведении системы к ступенчатому (треугольному) виду; при этом, последнее уравнение системы имеет одну неизвестную; б) Обратный ход заключается в последовательном определении неизвестных из уравнений системы.
С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы системы сведем ее к треугольному виду. Если в процессе СЛАУ методом Гаусса какая-либо строка примет вид 0=0, это будет свидетельствовать о том, что СЛАУ имеет бесконечное множество решений, если же возникает строка 0 = const, то система несовместна.
  . Ответ: (0,1,1).
2. Методом Крамера
При СЛАУ совместна и, причем, она имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера , где ∆ - определитель матрицы А системы, а ∆х, ∆у, ∆z – определители для неизвестных (х,у,z), полученные заменой соответствующего столбца, составленного из коэффициентов при неизвестных, на столбец свободных членов.
 
Ответ: (0,1,1).
3. средствами матричного исчисления
СЛАУ удобно записать в матричной форме А•Х=С, где А – матрица системы, Х – столбец неизвестных членов, С – столбец свободных членов.
Из матричного уравнения следует Х = А-1С, (*) где А-1 – обратная матрица, которая вычисляется по формуле , где АijТ – транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений.

Вычислим определитель матрицы А (смотрите выше)  

а) Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы
 
б) Составим матрицу алгебраических дополнений
 
в) Транспонируем матрицу Аij и получим АijТ
 
г) Вычисляем обратную матрицу
 
Согласно формуле (*) столбец решений .

Таким образом, СЛАУ: х = 0, у = 1, z = 1, что подтверждается в ходе проверки (подстановки полученных значений в каждое уравнение системы).
Задание 3. Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1;2), B(5;-6;2), С(1;3;-1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
Решение: Площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , то есть . Имеем: , . Тогда векторное произведение этих векторов равно .
  (*).
Известно, что площадь треугольника равна (**).
Приравняем равенства (*) и (**) и определим высоту h
 . Ответ: h = 5.
Задание 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4
А1 (2; -1; 1), А2 (5; 5; 4), А3 (3; 2; 3), А4 (4; 1; 3). Найти:
1) длину ребер A1A2; A1A3; A1A4;
2) угол между ребрами: A1A2 и A1A4;
3) площадь грани A1A2А3;
4) объем пирамиды;
5) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань A1A2А3.
Решение:
1) ...
2) Пусть α угол между ребрами A1A2 и A1A4. Скалярное произведение векторов и запишется в следующем виде:
 
3) Площадь грани A1A2А3 будем вычислять, исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника A1A2А3 равна .

4) Объем пирамиды численно равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, то есть , и .

5) Известно, что , где S – площадь основания (грань A1A2А3) пирамиды, а h – высота пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань A1A2А3.

Задание 5.

а) Найти острый угол между двумя плоскостями .
Решение: Угол между двумя плоскостями и равен углу между их нормальными векторами и и определяется по формуле .

Из формулы (*) получим, если учесть, что на основании уравнения (I) А1 = 5; В1 = 3; С1 = 4, а из (II) А2 = 3; В2 = -4; С2 = -2.
В формуле (*) следует взять абсолютную величину правой части, так как надо найти острый угол между плоскостями.
б) Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей Р1, Р2 и точку М(2,-1,3).
Решение: Две пересекающиеся плоскости Р1 и Р2 определяют (задают) пучок плоскостей, уравнение которого имеет вид 5x–3y+4z–4+t(3x–4y–2z+5)=0, где t – параметр. Все плоскости этого пучка проходят через прямую пересечения плоскостей Р1 и Р2 (ось пучка). Из множества плоскостей пучка выбираем ту (определяем значение t), которая проходит через точку М: значение t должно быть таким, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнению .
Уравнение искомой плоскости.
Задание 6. Даны уравнения высот треугольника 2х – 3у + 1 = 0 и х + у = 0 и координаты одной из его вершин А(1;2). Найти уравнения сторон треугольника.
Решение: Точка А(1;2) не принадлежит данным в условии высотам треугольника, так как ее координаты не удовлетворяют их уравнениям:
2•1 - 3•2 + 1 ≠ 0 и 1 + 2 ≠ 0. Отсюда следует, что высоты, данные в задаче, проведены из двух других вершин треугольника В и С. Назовем их СД и ВЕ, , . Пусть высота СД имеет уравнение х + у = 0, а высота ВЕ имеет уравнение 2х – 3у + 1 = 0.
I способ. Так как , то уравнение АС мы найдем из уравнения семейства прямых, перпендикулярных ВЕ, приняв во внимание, что искомая прямая проходит через данную точку А(1;2).
Если две прямые перпендикулярны, то выполняется условие , то есть коэффициенты при х и у меняются местами, а также изменяется знак при у.
1. Уравнение стороны АС
 
2. Уравнение стороны АВ
 
3. Уравнение стороны ВС
Сначала следует найти координаты точек В и С, как точек пересечения прямых ВЕ и АВ и прямых СД и АС, соответственно.
 
 
Теперь найдем уравнение ВС, воспользовавшись уравнение прямой, проходящей через две точки В(-2;-1) и С(7;-7).
 
 
II способ. Если две прямые заданы уравнениями и , то условия перпендикулярности двух прямых имеет вид .
1. Уравнение стороны АС ( )
Определим угловой коэффициент высоты ВЕ. Преобразуем уравнение высоты ВЕ: .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку А(х1;у1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом, (**).
Точка А(1;2) принадлежит прямой АС, поэтому подставим ее координаты в уравнение (**). .
2. Уравнение стороны АВ ( )
Угловой коэффициент высоты СД, имеющей вид, равен .
3. Уравнение стороны ВС рассмотрено выше.

Задание 7. Найти уравнение касательной к параболе у2 = 4х, проведенной из точки А(-2;-1).
Решение: Уравнение прямой будем искать в виде . Так как точка А принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение (*), получим тождество . Далее, прямая (*) и парабола у2 = 4х имеют единственную общую точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Решаем ее относительно х и у. Это можно сделать различными способами, например, возвести правую и левую части первого уравнения в квадрат и подставить в левую часть полученного равенства вместо у2 его выражение из второго уравнения. Получим . Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом, . Теперь для параметров k и b прямой (*) имеем два условия: (**) и (***). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий:
 . Подстановкой вместо b в первое уравнение его выражения из второго, получим , откуда находим, что . Система имеет два решения: . Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи. Их уравнения: .
Задание 8. Постройте кривую в полярной системе координат. Найти каноническое уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью.
Решение: Полярная система координат задана, если заданы точка О, называемая полюсом, и исходящей из полюса луч ОР, который называется полярной осью. Если задать на плоскости прямоугольную декартову систему координат, поместив ее начало в полюс и совместив ось абсцисс с полярной осью, то декартовы координаты х и у будут выражены через полярные координаты (r и φ) уравнениями.

Составим таблицу для значений r от φ с шагом π/8.
φ 0 π/8 π/4 3π/8 π/2 5π/8 3π/4 7π/8 π
cosφ 1 0,92 0,71 0,38 0 -0,38 -0,71 -0,92 -1
r 12 11,1 9,3 7,4 6 5 4,4 4,1 4
φ 9π/8 5π/4 11π/8 3π/2 13π/8 7π/4 15π/8 2π 
cosφ -0,92 -0,71 -0,38 0 0,38 0,71 0,92 1 
r 4,1 4,4 5 6 7,4 9,3 11,1 12 
Примем произвольный отрезок за единицу масштаба, которым мы будем пользоваться при построении r. Для построения проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям φ, и на каждом луче (то есть вдоль него) откладываем соответствующие вычисленные значения полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой. Построенная линия – эллипс.

Найдем каноническое уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, используя уравнения, отмеченные выше (*).
Это уравнение является уравнением эллипса с полуосями и с центром симметрии в точке О(4,0).
 
Смотреть готовую работу.