Путеводитель по математике

Оглавление путеводителя по математике.

Вместо введения — диалог авторов 3
Теоремы, аксиомы, определения 7
Множества 23
Отображения 53
Отношения 84
Последовательности, ряды. . 113
Функции . 137
Свойства функций 176
Дифференциальное и интегральное исчисление . . 205
Функции многих переменных 237
Функциональные ряды 251
Линейное пространство 270
Метрическое пространство……………………………..314
Аффинные преобразования 356
Группы преобразований . 384
Исчисление высказываний 421
Исчисление предикатов 464
Вместо заключения — диалог авторов 502
 
Скачать справочник по математике.

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ ДИАЛОГ АВТОРОВ

— Математика без формул? Не перехватили ли мы? Ведь это что-то вроде географии без карт или оперы без музыки!
— Что ж, опера без музыки, в самом деле, ничто вот, что касается карт... Разве в них соль географии? Когда ты смотришь видовой фильм, слушаешь бывалого путешественника или путешествуешь сам разве ты не пополнеешь свои географические познания? К тому же все это гораздо глубже воспринимается и гораздо интереснее, чем карты. Хотя, конечно, те подают информацию в предельно отчетливом, концентрированном виде. Такие же и формулы. При всей их четкости и емкости — не в них душа математики.
— Ну-ка, ну-ка, в чем же она, эта загадочная душа математики?
— Не знаю, убедят ли тебя мои собственные слова — как говорится, нет пророка в отечестве своем. Поэтому позволь спрятаться за авторитеты. «В математических работах... главное — содержание, идеи, понятия, а затем для их выражения у математиков существует свой язык — это формулы». Заметь: первично — содержание, идеи, понятия, а форма, формулы — вторично.
— Кто это сказал?
— Софья Ковалевская.
— Ну, хорошо. Формулы — не душа математики. Но все-таки язык! Родной язык! Тебе приходилось когда-нибудь читать японские стихи?
— В переводе.
— Вот-вот! В переводе, где короткие слова оригинала приходится заменять многосложными. И — улетучилось своеобразное очарование японской поэзии! Ощутить его можно, лишь изучив японский язык и читая стихи в подлиннике.
— Да, но все мы живем в условиях постоянного цейтнота. Прежде чем начинать какое-то дело, нужно знать
— 
ради чего оно предпринимается, видеть конечную цель. Я возьмусь за изучение японского языка лишь после того, как мне расскажут о неповторимых прелестях японской поэзии на моем родном языке. Но если вместо этого мне дадут свиток с иероглифами. Математические формулы для непосвященного — те, же иероглифы. Да и доказательства для него не понятнее иероглифов. Этот жаргон, эти бесконечные «если... то... для любого.. существует... вообще говоря... по крайней мере...»
— Ну, уж тут позволь с тобой не согласиться. Есть хороший анекдот на эту тему — не возражаешь?
— Давай.
— Ричард Дедекинд, как ты знаешь, умер глубоким стариком, через много лет после того, как написал свои классические труды. А о классиках принято думать, что жили они в давно прошедшие времена. Короче говоря, где-то в начале нашего века Дедекинд раскрыл какой-то календарь и прочел там: «Ричард Дедекинд. Умер в Брауншвейге 4 сентября 1899 года». Дедекинд написал тогда издателю календаря: «Глубокоуважаемый коллега!.. Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в дате моей смерти неверен, по крайней мере, год». Так и чувствуется рука математика! А в этом самом «по крайней мере» заключено все остроумие ответа. Так что строгость и занимательность — вещи вполне совместимые, можешь меня не разубеждать!
— Не приведи господи! Ведь именно об этом я тебе и толкую! Анекдоты и приметы, пословицы и детские считалки, картины великих художников и отрывки из классических произведений, с закаты истории и нашей повседневной жизни — вот где нужно искать иллюстрации к математическим понятиям! И они не могут не найтись. Разве древо математики поднялось бы до таких высот, если бы не уходило корнями в глубины общечеловеческой практики?
— И в таком духе ты намереваешься изложить всю математику, и притом совершенно строго?
— Зачем всю? И зачем совершенно строго? Наша
книга не должна быть учебником. Важны основные идеи
и понятия. И если читатель войдет во вкус, — он потом
возьмется и за учебники, за формулы и строгие доказательства. «Подобно тому, как рою бесчисленных пчел,

поражающему наперебой своими жалами, не удается отогнать упивающегося медведя, если он хоть немного вкусил приятность скрытого в дереве меда, так нет, разумеется, никого, кто, хоть краем губ постигнув сладость математических доказательств (какая бы масса величайших трудностей, ни отталкивала его, точно частыми уколами жал), не стремился бы всеми силами освоить их вполне, до. полного насыщения». Это сказал Бонавентура Кавальери в своем трактате «Геометрия».
— Ну и что же за книга у нас получится? Если не
учебник — то что? Что-то вроде «Кабаре математики»
Графа? «Математической смеси» Литтлвуда? Развлекательное чтиво?
— Не учебник и не чтиво. Я попытался бы определить ее дух иносказательно. Представь себе поток, на одном берегу которого стоит жаждущий, но не сведущий, а на другом раскинулись райские сады математики. Книги о математике — словно камни в потоке, по которым можно переправиться на ту сторону. К берегу незнания примыкает россыпь анекдотов. У другого берега теснятся глыбы учебников. А в промежутке — не так уж много для уверенной переправы. Трехтомник «Математика, ее содержание, методы и значение» А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева и других. «Что такое математика?» Р. Куранта и Г. Роббинса. «Что такое математика?» Л. Геффтера. «Прелюдия к математике» и «Путь в современную математику» У. У. Сойера... Где-то здесь мы и должны положить свой камешек.
— Книгу полусерьезную-полушутливую, как я понял, Этакий гибрид теоремы и побасенки. А форма книги?
— Есть стиль, на мой взгляд, отлично соответствующий ее содержанию. Фрагменты, связанные друг с другом не словесными переходами, но одною лишь логикой предмета.
— Догадываюсь: «Опыты» Монтеня, «Записки у изголовья» Сэй-Сенагон...
— Высокие примеры! В вольном разбеге пера одна за другой появляются зарисовки лаконичные и в то же время детальные, поэтичные и в то же время глубокомысленные, часто проникнутые усмешкой... Вот бы и нам показать в таких картинах важнейшие области математики!
— Итак, нечто вроде путеводителя по мателяа-тике?
— А почему бы и нет? Когда ты едешь в незнакомый тебе город и предвкушаешь его красоты, ты берешься не за фолианты по его архитектуре. В таких томах ты рискуешь споткнуться о фразы типа: «Рустованный периптер фланкируется лучковыми сандриками». От такого чтения первое свидание с городом наверняка будет испорчено. А интересный путеводитель, хороший гид расскажут тебе то же самое понятным тебе языком, да еще приведут старинную легенду или отрывок из поэмы, навеянной образом этого города. И если все услышанное тобою заронит в твою душу чувство любви к замечательному городу, это заставит тебя взяться потом и за серьезные книги о нем, перечитать все те скучные фолианты, которые иначе только отвратили бы тебя от него.
— Решено. Так в путь же — и пригласим с собою читателя!

ТЕОРЕМЫ, АКСИОМЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Что такое математика? -
Задайте этот вопрос своим приятелям, спросите у
знакомых, и в ответ вы скорее всего услышите что-нибудь вроде: «Это наука о числах и фигурах».
В самом деле, возьмем наугад любой раздел математики. Арифметика занимается числами. Они же подразумеваются под буквами в формулах алгебры. В геометрии речь идет о плоских фигурах и пространственных телах. 
Между тем существуют такие отрасли математики, где ни числа, ни фигуры никакой видной роли не играют. Вот книга по математической логике. Заглянем в нее. Формулы, которые встретятся нам тут, напоминаю алгебраические. Однако буквы в них обозначают не числа, а фразы, чаще всего математического содержания. Их в логике именуют высказываниями. Фигуры же появляются здесь исключительно для иллюстрации.
А вот книга по теории групп. В ее формулах буквы истолковываются как математические операции. После таких примеров трудно утверждать, будто в числах и фигурах заключено нечто самое существенное для математики. Так что же Такое математика? Что в ней самое главное? Что прежде всего «характерно для любого из ее разделов, любой ее теории?
Если вообразить математику в виде огромного дома, то ученых, чьими трудами возведен этот дом, естественно сравнить с каменщиками. И такое сравнение небезосновательно. Когда каменщик возводит стену, то каждый кирпич прочно укладывается на уложенные ранее и скрепляется с ними раствором. Точно так же в рассуждении математика каждое утверждение опирается на уже доказанные. Оно сцементировано с ними законами логики.

Каждый такой «кирпич» в математической «кладке», каждое утверждение математической теории, полученное из ранее доказанных на основании правил логического вывода, именуется теоремой. Конечно, математики в своих рассуждениях далеко не каждое умозаключение отмечают званием теоремы — весть у них и другие названия. Говорят, например, про признаки делимости чисел, про правила разложения полиномов на множители. Но если быть строгим в терминологии, каждое такое правило, каждый признак — одним словом, каждое математическое утверждение, получаемое путем логического доказательства, есть теорема.
Любая теорема или несколько теорем, в свою очередь, могут послужить обоснованием для какой-то новой теоремы. И подобно тому как здание складывается из кирпичей, любая математическая теория представляет собой совокупность теорем.
Логически последовательная стройность утверждений — вот самое существенное и характерное свойство математики. Оно ярко проявилось уже в древнейших ее разделах — арифметике и геометрии. В числах и фигурах впервые воплотилось это отличительное свойство точной науки.

Со временем появились в математике и формулы, этот особый ЯЗЫК для записи выкладок и теорем, язык удобный, точный и емкий. Скажем, небезызвестную теорему Пифагора можно высказать словами: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Но математик предпочтет этой длинной фразе короткое равенство а + Ь^ = с.
В любом здании, спускаясь с верхних этажей все ниже и ниже, мы в конце концов добираемся до фундамента. Так можно перебирать и теоремы. Занявшись этим, мы рано или поздно доберемся до утверждений, истинность которых принимается без доказательства. Это аксиомы или постулаты.
Раскроем знаменитые «Начала» Эвклида. В течение многих веков эта книга служила для школьников учебником геометрии, для ученых — образцом математической строгости.
Уже на первых страницах своего трактата Эвклид перечисляет постулаты, на которые опирается в дальнейшем, выводя геометрические теоремы: «1. От всякой точки можно провести прямую линию. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, то эти две прямые, продолженные-неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых» (то есть в сумме составляют меньше 180 градусов).

Посмотрим, как на таком фундаменте возводится здание эвклидовой геометрии.

С помощью своего, пятого постулата Эвклид доказывает, например, теорему о равенстве накрест лежащих углов при параллельных прямых р. и р.', а также 5 и 5' на нашем чертеже. В самом деле, сложим параллели так, как показано на рисунке нижа. Если бы накрест лежащие углы были не равны друг-другу, то какие-то два угла лежащих по одну сторону от АВ, тогда оказались бы в сумме меньше двух прямых и параллели встретились бы. Но это невозможно. Параллели на то и параллели, Что не пересекаются нигде. Значит, накрест лежащие углы р. и Р.», а также 5 и 8» равны. Следующий чертеж подсказывает нам, что углы а, Р.' и у' в сумме равны двум прямым. Если заменить в этой сумме Р.' и у' равными им углами треугольника АВС, то есть углами р. и у, то тем самым будет доказана известная теорема О том, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, то есть 180 градусам. Так и получается одна теорема за другой.
Перед вами — малярная кисть, плакатное перо, фломастер и тонко очинённый карандаш. Каким из этих инструментов вы бы воспользовались, чтобы нарисовать прямую линию на бумаге?
По-видимому, вы сразу потянетесь за карандашом. И это понятно: малярная кисть рисует широкую полосу с неровными краями, с кляксами по сторонам, с торчащими в разные стороны усами, то есть с теми деталями, которые не имеют никакого отношения к прямой линии. Не свободны от подобных недостатков и плакатное перо, и фломастер. А у следа, оставленного на бумаге тонко очинённым карандашом, таких «довесков» нет. По крайней мере они не заметны невооруженным глазом.
Но посмотрите на след карандаша через увеличительное стекло. Он ничем не лучше следа, оставленного малярной кистью! Та же непостоянная ширина, те же неровные края.
Карандаш нужно заменить инструментом более совершенным. Но где же тот инструмент, который позволит свести на нет все - несущественные подробности? Хорошенько поразмыслив, мы наверняка придем к выводу: такого инструмента не найдешь ни в одной готовальне.
Может быть, мы сплоховали из-за своей неопытности? Не посоветоваться ли. Нам в этом щекотливом вопросе с признанными авторитетами? Как, например, определял прямую линию отец геометрии Эвклид?
Раскроем вновь его «Начала»:
«Точка есть то, что не имеет частей. Линия же—длина без ширины. Концы же линии — точки. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней...»
Ну как — все ясно? Нет, пожалуй. Недоуменные вопросы напрашиваются и после этих слов. Разве только про прямую линию можно сказать, что она равно располо-1 жена по отношению к своим точкам? Ведь таким же; свойством обладает и окружность. И потом — что такое длина? Что такое ширина? Не нуждаются ли эти понятия, в свою очередь, в строгом определении?
Подобные вопросы могут показаться кощунством: придираться к самому Эвклиду! Что же, мы далеко не первые, кто упрекает его в не прогости. Особенно участились такие придирки на рубеже XIX и XX веков когда математики стали задумываться: а такое ли уж стройное здание геометрии? Начали они, естественно, с фундамента. Вот тут-то и были замечены некоторые погрешности, допущенные отцом геометрии. Началась кропотливая работа по их устранению.
Как же выглядят начала геометрии в современном
изложении? Возьмем книгу немецкого математика Давида Гильберта «Основания геометрии»: 
«Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками, вещи второй системы мы называем прямыми, вещи третьей системы мы называем плоскостями. Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях и, обозначаем эти соотношения различными словами, как-то: лежать, между, конгруэнтный (то есть совмещаемый наложением. Авт.), параллельный, непрерывный».
Как видно, Гильберт и не собирается определять основные объекты геометрии — точку, прямую, плоскость.
«Нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе», — говорил немецкий математик Карл Вейерштрасс.
Если геометрия упорно отказывается выдавать истоки своих понятий и представлений, ‘ если нам никак не удается определить их в строгих математических терминах, то, может быть, нам в наших затруднениях помогут поэтические образы.
«Звезды на небе — как искорки». «Луч света — как тетива лука». «Равнина — как гладь озера».
Поэтический дар, которым человек наделен от природы, побуждал его подмечать сходство в различном.
Многократно отмечая то или иное свойство у различных
предметов, человек осознавал это свойство и давал ему
имя.
Тетива лука и луч света прямы. В этом обобщающем суждении уже явно выражено понятие прямой. Напоминая о тетиве лука и о луче света, оно в то же время уже отделено от них, существует само по себе в Нашем сознании.
В нашем сознании... Вот почему мы так и не нашли подходящего инструмента для проведения прямой на бумаге. Штрих карандаша, мазок кисти — все это были реальные образы. Они не способны точно выразить идеальный образ прямой.
Так появлялись абстрактные геометрические понятия.
И чем настойчивее искал человек простые, но характерные, немногие, но существенные свойства предметов, чем смелее отбрасывал при обобщении черты второстепенные и случайные, чем шире был круг предметов, тем более содержательным и вместе с тем более отчетливым становилось соответствующее абстрактно?. понятие, будь то плоскость или прямая, точка или окружность.
Так складывался набор элементарных геометрически)^ образов.
Но человек — не только созерцатель и поэт. Человек — прежде всего труженик.
В своей практической деятельности, постигая свойства реальных предметов и их взаимосвязи, человек устанавливал свойства созданных им геометрических образов и отношения между ними.
Старинная легенда рассказывает, как зародилась наука геометрия. Было это в Древнем Египте. Огромная река течет через всю эту местность — Нил. Разливаясь
с каждой весной, Нил затоплял поля и уничтожал межи, разделявшие земельные участки. Межи приходилось восстанавливать каждый раз заново. Из года в год, из века в век совершенствовались приемы землемерия. Если произнести это слово на древнегреческом языке, мы узнаем в нем название науки, о которой рассуждаем: геометрия.
Натягивая межевую веревку между двумя колышками, древние землемеры не раз имели возможность убедиться, что эта несложная операция всегда приводит к одному и тому же результату. Многократно повторенный опыт внушал вывод: через две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Так рождались аксиомы общие для всех, кто трудится на земле.
И чем настойчивее вскрывал человек устойчивые и закономерные связи между предметами реального мира, чем глубже осмыслял их логику, чем чаще узнавал при самых различных обстоятельствах то или иное соотношение, чем успешнее использовал его в своих рассуждениях и действиях, тем надежнее подтверждала свое звание соответствующая аксиома: через любые две точки можно провести прямую; существуют три точки, не лежащие на одной прямой, и так далее.
Аксиом-становилось все больше. Они складывались в единую систему. Математики заботились о том, чтобы такая система была полной, то есть чтобы из нее можно было вывести любую из известных геометрических теорем. И еще о том, чтобы она была непротиворечивой, то есть чтобы из нее нельзя было вывести взаимоисключающие утверждения.
Взятые вместе, эти аксиомы описывают все свойства основных геометрических объектов, все соотношения между ними, используемые при выводе геометрических теорем. Потому и не нуждаются в определении основные геометрические понятия — точка, прямая, плоскость. Их определения содержатся в аксиомах геометрии.

Если вы знаете азбуку Морзе, то вам не составит труда прочесть написанное здесь ее знаками слово «математика».
Но если вы даже совсем не понимаете языка радистов, для вас видимо, не секрет, что из этих точек и тире складываются буквы, из букв — слова, из слов — фразы, из фраз — тексты, посылаемые в эфир.
Так же и в геометрии: из основных геометрических объектов, таких, как точка и прямая, конструируются объекты все более сложные.
Что есть квадрат? Определение гласит: это прямоугольник, у которого все стороны равны между собой. Понятие квадрата, как видим, выводится из более общего понятия прямоугольника. А что такое прямоугольник? Это параллелограмм, у которого-все углы прямые. Еще один шаг к понятию более элементарному. А параллелограмм? Это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Понятие четырехугольника, в свою очередь, основывается на понятии отрезка, а тот определяется как часть прямой, заключенной между двумя лежащими на ней точками, включая их самих.
Так по ходу своего анализа мы добрались до первичных геометрических понятий, о которых идет речь в аксиомах геометрии: «точка» и «прямая», «лежать» и «между».
Такой способ построения математических понятий изложил еще Аристотель. Великий древнегреческий философ назвал его так: определение через родовидовое отличие.
Скажем, прямоугольник относится к роду параллелограммов, а его видовое отличие состоит в том, что все его углы прямые. Параллелограмм относится к роду четырехугольников, а видовое отличие заключается здесь в параллельности противоположных сторон.

Когда математик вводит в свое рассуждение новый объект м называет его видовое отличие, то он тем самым формулирует некоторое утверждение, используемое при выводе новых теорем. Например, построив некоторый параллелограмм АВСО, он получает для дальнейших умозаключений сразу два утверждения: «АВ параллельно СО» и «ВС параллельно АО» — два новых «кирпичика» для математической «кладки». А с точки зрения умелого каменщика, это не так уж мало!
Судите сами: начиная изучать геометрию на плоскости и познакомившись с фигурирующими в ее аксиомах основными понятиями — точкой и прямой, школьник добавляет к ним совсем немного новых — угол, треугольник, параллелограмм, окружность... Но какое богатое сооружение вырастает на этой основе на протяжении школьного курса математики!
Блез Паскаль, французский математик и философ, получил не школьное, а домашнее образование. Его учителем был отец, Этьен Паскаль, один из просвещеннейших людей своего времени.
Согласно учебному плану Паскаля-старшего математику предполагалось проходить с пятнадцати-шестнадцати лет. Но ребенок поломал все планы всего учителя. Услышав от отца про геометрию, узнав от него несколько аксиом из «Начал» Эвклида, Блез стал интересоваться дальнейшим.
Отец, считая, что время для этого еще не настало, от разговоров О геометрии уклонялся. Каково же было его удивление, когда однажды, зайдя в детскую, он застал двенадцатилетнего сына за доказательством теоремы о сумме углов треугольника.
Удивительно рано проявилась математическая одаренность будущего прославленного ученого.
 
Здесь вы можете заказать решение задач по математике.